George Polya slavné citáty

Matematika je nejlevnější věda. Na rozdíl od fyziky nebo chemie nevyžaduje žádné drahé vybavení. Vše, co člověk potřebuje pro matematiku, je tužka a papír.

Velký objev řeší velký problém, ale v řešení jakéhokoli problému je zrnko objevu. Váš problém může být skromný, ale pokud zpochybňuje vaši zvědavost a přináší do hry vaše vynalézavé schopnosti, a pokud jej vyřešíte vlastními prostředky, můžete zažít napětí a užít si triumf objevu.

Kde mám začít? Začněte od prohlášení o problému. ... Co mám dělat? Vizualizujte problém jako celek tak jasně a živě, jak můžete. ... Co tím mohu získat? Měli byste problému porozumět, seznámit se s ním, zapůsobit na jeho účel.

Dokonce i docela dobří studenti, když získali řešení problému a úhledně zapsali argument, zavřeli své knihy a hledali něco jiného. Přitom jim chybí důležitá a poučná fáze práce. ... Dobrý učitel by měl pochopit a zapůsobit na své studenty názor, že žádný problém, co je zcela vyčerpán.

Krása v matematice znamená vidět pravdu bez námahy.

Pedantry a mistrovství jsou opačné postoje k pravidlům. Aplikovat pravidlo na dopis, pevně, nepochybně, v případech, kdy se hodí a v případech, kdy se nehodí, je pedantry. [...] Aplikovat pravidlo s přirozenou lehkostí, s úsudkem, všímat si případů, kdy se hodí, a aniž by Slova pravidla někdy nechala zakrýt účel akce nebo příležitosti situace, je mistrovství.

Pokud se chcete naučit plavat, musíte jít do vody a pokud se chcete stát řešitelem problémů, musíte řešit problémy.

Epitaf o Newtonovi: příroda a zákon přírody ležely schované v noci: Bůh řekl: "Nechť je Newton!, "a všechno bylo lehké. [přidal Sir John Collings Squire: netrvalo to: ďábel křičel " Ho. Nechte Einsteina být, "obnovil status quo] [verze Aarona Hilla: O' er přírodní zákony Bůh odhodil závoj noci, z blaz ' d Newtonovy duše a všechno bylo světlo.

Moje metoda, jak překonat obtížnost, je obejít ji.

K překladu věty z angličtiny do francouzštiny jsou nutné dvě věci. Nejprve musíme důkladně porozumět anglické větě. Za druhé, musíme být obeznámeni s formami vyjadřování zvláštními pro francouzský jazyk. Situace je velmi podobná, když se pokoušíme vyjádřit matematickými symboly podmínku navrženou slovy. Nejprve musíme důkladně porozumět stavu. Za druhé, musíme být obeznámeni s formami matematického vyjádření.

Řešení problémů je praktická dovednost, jako je, řekněme, plavání. Jakoukoli praktickou dovednost získáváme napodobováním a praxí. Když se snažíte plavat, napodobujete to, co ostatní lidé dělají rukama a nohama, aby udrželi hlavu nad vodou, a nakonec se naučíte plavat cvičením plavání. Při pokusu o řešení problémů musíte pozorovat a napodobovat to, co ostatní lidé dělají při řešení problémů, a nakonec se naučíte dělat problémy tím, že je budete dělat.

Pokud existuje problém, který nemůžete vyřešit, pak existuje jednodušší problém, který nemůžete vyřešit: najděte jej.

Prvním pravidlem stylu je mít co říct. Druhým pravidlem stylu je ovládat se, když náhodou máte na srdci dvě věci; řekněte nejprve jednu, pak druhou, ne obě současně.

Jsem příliš dobrý pro filozofii a ne dost dobrý pro fyziku. Matematika je mezi tím.

Matematika není divácký sport!

Matematika spočívá v prokázání nejviditelnější věci nejméně zřejmým způsobem.

Úspěch při řešení problému závisí na výběru správného aspektu, na útoku na pevnost z její přístupné strany.

Je lepší vyřešit jeden problém pěti různými způsoby, než vyřešit pět problémů jedním způsobem.

Matematika Má dvě tváře: je to přísná věda Euklida, ale je to také něco jiného. Matematika prezentovaná Euklidovským způsobem se jeví jako systematická, deduktivní věda; ale matematika ve výrobě se jeví jako experimentální, induktivní věda. Oba aspekty jsou stejně staré jako samotná věda o matematice.

Euclid ' s způsob expozice, postupující neúnavně z dat do neznáma a od hypotézy k závěru, je ideální pro kontrolu argument v detailu, ale zdaleka není ideální pro výrobu srozumitelné hlavní linii argumentu.

Analogie prostupuje celým naším myšlením, naší každodenní řečí a našimi triviálními závěry, stejně jako uměleckými způsoby vyjadřování a nejvyššími vědeckými úspěchy.

Abyste vyřešili tuto diferenciální rovnici, díváte se na ni, dokud vás nenapadne řešení.

V" commentatio " (poznámka předložená Ruské akademii), ve kterém byla poprvé zveřejněna jeho věta o mnohostěnech (o počtu ploch, hran a vrcholů) Euler neposkytuje žádný důkaz. Místo důkazu nabízí induktivní argument: ověřuje vztah v různých zvláštních případech. Není pochyb o tom, že také objevil teorém, stejně jako mnoho jeho dalších výsledků, indukčně.

Záměrně se vyhýbám standardnímu termínu, který mimochodem v Eulerově době neexistoval. Jedním z nejošklivějších výrůstků "nové matematiky" bylo předčasné zavedení technických termínů.

Matematik, který může pouze zobecnit, je jako opice, která může jen vylézt na strom, a matematik, který se může pouze specializovat, je jako opice, která může pouze vylézt na strom. Ve skutečnosti ani opice nahoru, ani opice dolů nejsou životaschopným tvorem. Skutečná opice musí najít jídlo a uniknout svým nepřátelům, a tak musí být schopna neustále stoupat nahoru a dolů. Skutečný matematik musí být schopen zobecnit a specializovat.

Hilbert jednou měl studenta matematiky, který přestal chodit na jeho přednášky, a nakonec mu bylo řečeno, že mladý muž odešel, aby se stal básníkem. Hilbert údajně poznamenal: "Nikdy jsem si nemyslel, že má dost představivosti na to, aby byl matematikem.'

Princip je tak dokonale obecný, že není možné jeho konkrétní použití.

První a nejdůležitější povinností střední školy ve výuce matematiky je zdůraznit metodickou práci při řešení problémů...Učitel, který chce sloužit stejně všem svým studentům, budoucím uživatelům i neuživatelům matematiky, by měl učit řešení problémů tak, aby se jednalo o třetinu matematiky a dvě třetiny zdravého rozumu.

Správně psát a mluvit je jistě nutné;ale nestačí. Odvození správně uvedené v knize nebo na tabuli může být nepřístupné a nestrukturální, pokud je účel následných kroků nepochopitelný, pokud čtenář nebo posluchač nemůže pochopit, jak bylo lidsky možné takový argument najít....

Nápad, který lze použít jednou, je trik. Pokud jej lze použít více než jednou, stane se metodou.

To nejlepší z nápadů je zraněno nekritickým přijetím a prospívá kritickému zkoumání.

Velký objev řeší velký problém, ale v každém problému je zrnko objevu.

Elegance matematické věty je přímo úměrná počtu nezávislých myšlenek, které lze ve větě vidět, a nepřímo úměrná úsilí, které je zapotřebí k jejich vidění.

Svět touží obdivovat tento vrchol a vyvrcholení moderní matematiky: věta tak dokonale obecná, že její konkrétní aplikace není proveditelná.

Docela často, když se objeví myšlenka, která by mohla být užitečná, neoceníme ji, protože je tak nenápadná. Odborník možná nemá více nápadů než nezkušený, ale více si váží toho, co má, a lépe to využívá.

Aby mohl učitel efektivně učit, musí rozvíjet cit pro svůj předmět; nemůže přimět své studenty, aby vycítili jeho vitalitu, pokud to sám necítí. Nemůže sdílet své nadšení, když nemá nadšení sdílet. To, jak vyjadřuje svůj názor, může být stejně důležité jako bod, který uvádí; musí to osobně cítit jako důležité.

Učitel si málokdy může dovolit vynechat otázky: Co je neznámé? Jaké jsou údaje? Jaký je stav? Student by měl zvážit hlavní části problému pozorně, opakovaně a z různých stran.

Jednou z prvních a nejdůležitějších povinností učitele není vzbudit u svých studentů dojem, že matematické problémy mají mezi sebou malé spojení a vůbec žádné spojení s ničím jiným. Máme přirozenou příležitost prozkoumat souvislosti problému při pohledu zpět na jeho řešení.

Pokud navrhovaný problém nemůžete vyřešit, zkuste nejprve vyřešit nějaký související problém.

Existuje mnoho otázek, na které se mohou hlupáci zeptat, na které mudrci nemohou odpovědět.

Prvním pravidlem objevu je mít mozek a hodně štěstí. Druhým pravidlem objevu je sedět pevně a čekat, až získáte jasný nápad.

Když je dobrá logika představena ve špatnou dobu nebo na špatném místě, může být nejhorším nepřítelem dobrého učení.

Matematika je líná. Matematika je nechat principy dělat práci za vás, takže nemusíte dělat práci pro sebe

Geometrie je věda o správném uvažování o nesprávných číslech.

Otevřeným tajemstvím skutečného úspěchu je vrhnout celou svou osobnost do vašeho problému.

Tam byl seminář pro pokročilé studenty v Zã½rich, že jsem učil a von Neumann byl ve třídě. Přišel jsem k určité větě a řekl jsem, že to není prokázáno a může to být obtížné. Von Neumann nic neřekl, ale po pěti minutách zvedl ruku. Když jsem ho zavolal, šel k tabuli a pokračoval v psaní důkazu. Poté jsem se bál von Neumanna.

Pokud důkaz začíná od axiomů, rozlišuje několik případů a vezme třináct řádků v učebnici ... to může dát mladým dojem, že matematika spočívá v dokazování nejzřetelnějších věcí nejméně zřejmým způsobem.

Budoucí matematik ... měl by řešit problémy, vybrat si problémy, které jsou v jeho linii, meditovat o jejich řešení a vymýšlet nové problémy. Tímto způsobem a všemi ostatními prostředky by se měl snažit učinit svůj první důležitý objev: měl by objevit své libosti a nelibosti, svůj vkus, svou vlastní linii.

Rozhlédněte se kolem sebe, když máte svou první houbu nebo jste poprvé objevili: rostou ve shlucích.

Pokud musíte dokázat větu, nespěchejte. Nejprve plně pochopte, co věta říká, zkuste jasně vidět, co to znamená. Pak zkontrolujte větu; mohlo by to být nepravdivé. Prozkoumejte důsledky, ověřte tolik konkrétních případů, kolik je potřeba, abyste se přesvědčili o pravdě. Když jste se ujistili, že věta je pravdivá, můžete ji začít dokazovat.